Ayuda al Estudiante

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El ecosistema educativo tiene un triángulo esencial: estudiantes, padres y profesores. Lo demás es contexto. Si este se sitúa en el centro de gravedad, algo va mal. Los análisis sobre educación tienen un peligro casi invisible: la paralización fascinada por lo mal que estamos. Descalificar sin analizar es injusto y analizar sin proponer alternativas, estéril. Así que el propósito de este blog es claro: ayudar a estudiantes, padres y profesores a encontrar alternativas de mejora.

No desaprovechemos en el aula la fascinación de lo difícil

Por: | 17 de octubre de 2013

Paradoja de los peces y las fracciones (VER NOTA FINAL)

Autor invitado: JOSÉ JORGE RODRÍGUEZ PÉREZ, profesor de Matemáticas en el instituto de Punta Candieira (Cedeira, A Coruña).

 

Lo difícil es fascinante, incluso a pequeña escala. Lo complejo, lo extraño, lo singular nos sorprende, nos atrapa y nos deja dando vueltas a las cosas. Nos hace pensar. Veamos:

¿Una mesa de tres patas o de cuatro? ¿Cuál es más estable? (Te aconsejo que digas lo contrario de lo que estabas a punto de contestar).

Y las alcantarillas a través de las cuales tienen que pasar trabajadores ¿por qué son redondas y no rectangulares, como las otras? (Una pista: la razón no es estética ni económica).

¿Por qué los balones de fútbol están formados cosiendo hexágonos y pentágonos? (Ve pensando en esferas y en icosaedros…).

Estas dos, para aficionados a los videojuegos. ¿Por qué la pantalla de la muerte (la última) del Pac Man es la número 255? Y el número máximo de misiles que puedes conseguir en el Metroid es… ¿Es casualidad que sean 255 o tiene que ver con el sistema binario?

Me imagino que alguna de estas preguntas habrá captado vuestra atención. Quizá hasta el punto de que os paréis a pensar un rato. E incluso de buscar la solución en Google, en caso de que no conozcáis la respuesta o la encontréis espontáneamente. Preguntas así, llamadas starters (de arranque o de incitación) en los países anglosajones, son habituales en clase de Matemáticas. Los profesores solemos tener una colección de starters recopilada a lo largo de años de lecturas y experiencias (en los últimos años, más comúnmente en Internet) para comenzar muchos temas y conceptos en nuestras clases, porque necesitamos desesperadamente captar la atención.

Por ejemplo, yo suelo empezar el concepto de fracciones equivalentes con esta broma:

–¿Le corto su pizza en cuatro u ocho trozos?

–Buf, mejor en cuatro, no sería capaz de comer ocho ahora mismo.

Confieso que captar la atención de una clase unos segundos es relativamente sencillo. Pero conseguirlo con temas curriculares, amigo mío, ya es algo más complicado.

Por no hablar de mantener la atención con temas curriculares durante todo un curso. Eso resulta misión imposible, especialmente en un aula con más de 30 alumnos. ¿Cómo lograr que se mantenga esa atención, esa concentración tan volátil, que no suele dar ni para terminar un vídeo de dos minutos? ¿Cómo conseguir que alumnos que no tienen arrestos para pensar un minuto sobre un acertijo se enfrasquen en problemas menos cautivadores y más sofisticados?

Muchos argumentarán que el problema no está en la atención de los alumnos, sino en la esencia de los contenidos. Que estos contenidos están alejados de la realidad cotidiana, del día a día de los alumnos. Y es cierto. ¿Se aplica esta circunstancia a alguna otra materia curricular? ¿O es exclusivo de las Matemáticas?

John von Neumann
Quizás haya que volver a escuchar con atención al genio John von Neumann: “If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is” ["Si la gente no cree que las matemáticas son simples, es solo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida"].

En cambio, otros dirán que los contenidos no son determinantes, que cabe la posibilidad de modificar la metodología para hacer más motivadora la materia.

Podemos estar esencialmente de acuerdo con ambas objeciones, pero, como profesores de secundaria, tenemos un margen de maniobra limitado.

Sucede que los contenidos no dependen de los profesores, que tenemos sobre nosotros la espada de Damocles del BOE, que incorpora contenidos como “Operaciones con números expresados en notación científica” (3º de ESO) o “Radicales equivalentes. Comparación y simplificación de radicales” (opción B de 4º de ESO). Motiven ustedes a los jovencitos con la raíz cuarta de tres elevado a la quinta potencia o con x elevado a dos tercios. ¡Y buena suerte! La necesitarán.

Lo cierto es que tenemos los intereses del mercado y la tecnología en contra. En un pasado no muy lejano era necesario un nivel de alfabetización matemática bastante elevado para llevar a cabo tareas con un ordenador que hoy en día cualquier usuario/consumidor puede hacer solamente deslizando un dedo sobre una pantalla táctil (el hecho de que se pueda llevar a cabo evitando el tecleo no es nada inocente).

Que ese usuario no sepa realmente qué está haciendo no es un obstáculo para que se convierta en el objetivo de las campañas de márketing de las empresas tecnológicas. Si sumamos el hecho de que la calidad del móvil es un índice del estatus económico y social, completamos la situación actual. Los alumnos cambian de un móvil a otro, de un dispositivo a otro, sin saber utilizarlos con cierto nivel de dominio. Son sujetos pasivos del mercado, con un poder adquisitivo muy significativo. No saben cómo usarlos (en serio, los llevo observando un decenio), pero saben que quieren usar un iPhone o un iPad. O por lo menos tenerlo. Y exhibirlo.

  Matemáticas de la vida cotidiana (foto del autor)

Curiosamente también tenemos en contra a la Administración educativa y su obsesión por las evaluaciones externas. Cuando tienes que enseñar para pasar un examen, dejas de lado el aprendizaje y te centras, lógicamente, en… pasar el examen.

Esto lleva sucediendo años con la selectividad, desde los tiempos del mal llamado COU. Los alumnos pueden llegar a resolver los ejercicios-tipo (que no problemas) de sistemas de ecuaciones dependiendo de un parámetro, sin entender más que los pasos desmigados y más o menos abigarrados que hay que seguir. Pero sin entender qué están haciendo.

Os contaré una actividad de incitación que funcionó de modo relativamente satisfactorio hace ya cinco años, en el anterior centro en el que trabajé. Era una clase de 3º de ESO especialmente buena y en la que solo había 13 alumnos. Cosas del entorno rural: calculen cómo es la situación en los centros urbanos para que la media de alumnos por aula sea 26, según datos de la OCDE, que, por cierto, ya hace años que ha desbancado, lamentablemente, a la UNESCO como guía de la educación.

Comenté así de pasada un dato impactante. Para colocar en línea de todos los modos posibles a los alumnos de la clase (solo había 11 ese día) serían necesarios años de trabajo. El escepticismo fue general. Resultaba increíble.

Ya habían picado el anzuelo. La siguiente media hora la ocupamos en calcular, por un lado, cuántas ordenaciones posibles habría con los 11 alumnos, que son casi 40 millones (39.916.800 exactamente), y en estimar el tiempo que llevaría colocar a los alumnos en una sola de las ordenaciones. El acuerdo general lo dejó en unos más que optimistas 10 segundos. Finalmente llegamos a una estimación, claramente por defecto, de algo más de doce años y medio. Veamos la moraleja:

Por un lado la experiencia fue muy satisfactoria:

  • motivación
  • trabajo en equipo
  • diversión generalizada

Veamos las partes negativas:

  • el problema no formaba parte del currículum. La combinatoria está erradicada de la educación secundaria. Pero ese problema es menor ante este otro…
  • …¿qué recuerdan los alumnos después de un mes? ¿El razonamiento? ¿La estrategia? No, como podrán adivinar, recuerdan exclusivamente la jarana de las reordenaciones, y por desgracia esta anécdota no es una anomalía.
  • por último, el problema ni siquiera requiere un razonamiento medianamente sofisticado.

Como conclusión, ¿saben cuál creo que es el origen último de esta dificultad para incorporar lo difícil, lo complejo, lo más fascinante, en nuestras aulas?

En efecto: la ubicuidad de las calificaciones, que mediatiza todo el proceso de aprendizaje.

 

Nota sobre el autor

José Jorge Rodríguez Pérez (@jjcanido), es licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela y profesor de Matemáticas y Coordinador Abalar (el proyecto Abalar es el nombre en Galicia de la Escuela 2.0 a nivel estatal) en el IES Punta Candieira, de Cedeira (A Coruña). Escribe sobre su materia en el blog Matemáticas na Rúa.

Supe de él por un comentario interesantísimo que hizo al post de Clara Grima Compramos 50 melones o hablamos de Facebook. En su comentario hablaba de las dificultades que encuentran los profesores para dar clase y aludía al enorme valor de lo difícil ("los problemas matemáticos son intrínsicamente difíciles, y de hecho tanto mejor es un problema, entre otras cosas, cuanto más difícil es"). De ahí surgió este post sobre la dificultad de trabajar con lo difícil en clase. 

 

Nota sobre la paradoja que encabeza el artículo

La paradoja gráfica que encabeza el artículo es bonita y merece una aclaración.

La suma de 1/2 y 1/3 da como resultado 5/6. Esa es la solución matemática.

Sin embargo, sin en lugar de sumar fracciones lo hacemos con pececitos, uno rojo de dos peces más dos rojos de tres, dan como resultado tres rojos de cinco. Es decir, se diría que 1/2 y 2/3 es 3/5, hablando de pececitos y no de fracciones.

¿Cuál de los dos resultados es correcto?

Los dos son correctos, solo  que no responden a la misma operación. Sumar peces de distintas peceras es muy distinto de sumar fracciones (y eso no convierte a las fracciones en una señoras antipáticas).

La suma de fracciones solo tiene sentido si representan partes del mismo conjunto (de la misma pecera, para entendernos).

Equiparar la suma de fracciones a la de los peces no tiene sentido porque nuestras “fracciones de peces” no representan partes del mismo conjunto. Para que tuviese sentido todos los peces deberían compartir pecera. Si en esa única pecera hubiera 6 peces, la suma de las fracciones del problema (5/6) implicaría que cinco de ellos serían rojos.

Para ver la especie de trampantojo que nos provocan los peces, pensemos en una situación más fácil de intuir, con un pez rojo y uno negro en cada una de las dos peceras iniciales. Sumando fracciones, se ve rápidamente que el resultado es 1/2+1/2=1, mientras que si consideramos la cantidad de pececitos rojos, tendríamos 1/2+1/2=2/4(=1/2), lo cual sería matemáticamente absurdo, aunque muy real con pececitos.

En resumen, solo tiene sentido sumar fracciones dentro del mismo conjunto, y esto da juego en clase gracias justamente a lo difícil que es desarmar la paradoja por su gran fuerza intuitiva.

Aunque, eso sí, para los matemáticos lo que daría más juego sería averiguar cuándo se cumple matemáticamente que a/b+c/d=(a+c)/(b+d). Pero esa es otra cuestión (irresoluble con fracciones positivas y de infinitas soluciones con una fracción negativa).


Hay 9 Comentarios

Se agradece la recomendación, que comparto como no podía ser de otro modo, hace tiempo que tengo ese blog en mi 'feed', sus ideas sobre metodologías y algoritmos suelen ser de gran interés.

Gracias Paulo por el comentario. Respecto al curriculum, estoy de acuerdo contigo. Llevo años comentando que me encantaría conocer a alguno de los responsables de elaborar los contenidos de Matemáticas del BOE (y del DOG después, aunque ya tienen muy definido el marco base). También me gustaría saber si quien redacta el prólogo (con su verborrea fantasiosa) es el mismo que después concreta las unidades temáticas, porque desde luego no lo parece.
Respecto a la Escuela 2.0, es cierto que la implantación es muy desigual, produciéndose verdaderos agravios entre centros y comarcas. Precisamente se debería hacer un esfuerzo por parte de la administración para llevarla a las zonas donde la cobertura de Internet sea más minoritaria, para cerrar la brecha.
Por último, si no lo conoces, te animo a que leas el blog de educación matemática que recomendé en la respuesta a Manuel.

Enhorabuena por el artículo, J.
No puedo sino estar de acuerdo con las líneas generales de tu argumentación.

Y desde luego creo que a veces nos desvivimos por encontrar motivación en donde roza la imposibilidad el lograrlo, hay ciertos aspectos del currículo de matemáticas que quizás deberíamos aceptar que están muy alejados de la realidad que podemos acercar al alumnado. Tendríamos que plantearnos si no sería mejor su eliminación, suplantación o incluso eliminación si lo que queremos es continuar con estrategias motivacionales y realistas habrá que darle una vuelta, o dos, al currículo.

Por no hablar que tanta Escuela 2.0, tanto informatización de los centros con que los políticos se llenan la boca, pero aquí no ha llegado. Yo solo puedo disponer de un ordenador por alumno en grupos pequeños, y para eso hay una sola aula para todas las materias, con la consiguiente dificultad para encontrar huecos disponibles.
Es más, aunque este año no se da, sí me he encontrado en cursos anteriores (el último sin ir más lejos) en que no todo mi alumnado disponía de Internet en casa... ¡porque no llegaba a su pueblo! Lo que me supuso una limitación enorme en actividades que tenía planeadas porque podrían suponer desigualdades entre unos y otros.

Un saludo.

Sí, Manuel, pero...
En mi opinión el cambio metodológico tiene un recorrido limitado determinado por los contenidos y los objetivos. Si en el curriculum aparece,p.ej., "extracción de factores de un radical" y "extraer factores de un radical" ya puede haber paralelamente dentro de las competencias algo del estilo "ser capaz de analizar..." que los profesores mayoritariamente van a seguir apuntando a contenidos y objetivos, pues creerán que en los siguientes cursos realmente será lo que necesiten. Por este carácter estrictamente propedéutico es por el que la selectividad mediatiza todo el proceso, mucho antes del bachillerato.
Por otro lado, siempre que se analizan metodologías fallidas (pienso en ideas y algoritmos como las que estudia Pedro Ramos en su estupendo blog http://masideas-menoscuentas.com ) me asalta la misma pregunta: ¿cómo lograron aprender los alumnos con los que sí funcionó esa metodología fallida?

Una forma fácil de conseguir un mínimo nivel de tranquilidad y disciplina consiste en mantener a los alumnos ocupados en una tarea mecánica, que se lleve a cabo de forma individual y que no precise de la colaboración con los compañeros ni de la intervención del profesor. Por ejemplo, completar una ficha o trabajar con un ordenador. Se trata de tareas de poco riesgo, tanto para ellos como para el docente.

Con ello se evita que se corten, se manchen o se quemen, pero también se les quita la posibilidad de hacerlo o de tener cuidado para que no suceda. La forma más fácil de no tener problemas y sobresaltos es evitando que se produzcan, salvo que la vida y el aprendizaje consisten precisamente en tenerlos, en resolver conflictos y situaciones a medida que se presentan.

Y esto conduce a una pedagogía de mínimos, carente de riesgos y situaciones conflictivas pero también de sorpresas y oportunidades. Una pedagogía en la que cualquier atisbo de innovación finalmente se academiza, se convierte en más de lo mismo. Y, lo que es peor, coloca a los afectados, alumnos y profesores, en un estado de abulia o de resistencia al cambio, para evitar las incomodidades y esfuerzos que este cambio supone.
http://www.otraspoliticas.com/educacion/actividades-de-riesgo

Enhorabuena por el artículo. Comparto las reflexiones sobre como son los procesos de enseñanza-aprendizaje en la actualidad así como las ideas didácticas que planteas.
Para empezar citas las starters como una manera de huir de la formación de alumnos-impresoras, que todos hemos sido en alguno (o varios) momentos de nuestra vida. En general cualquier interpelación que hagamos como profesores para la construcción de un concepto o el descubrimiento de un resultado conlleva más riesgos que una presentación académica de tiza y encerado. No sabes donde vas a llegar, depende del alumnado que tengas en clase, de la hora de la mañana,... No es fácil conducir las respuestas del alumnado hacia el objetivo que podemos alcanzar. Hay que tener paciencia, sosiego y saber gestionar muy bien el aula. Lo otro es mucho más fácil y seguro. Pero mucho más aburrido.
En cuanto a la Evaluación, coincido en que dificulta el aprendizaje, aunque es imprescindible. Me da pánico que con las reválidas de la LOMCE la ESO se convierta en un 2º de BAC, y que pasemos a ser meros preparadores de ejercicios-tipo. Pienso que ahí como profesores, poco podemos aportar.
Para acabar, las metodologías diferentes son las que mejor fijan el aprendizaje. Como en el caso de "tus" permutaciones. Necesitamos ser originales, innovadores y aplicar a la actualidad y al contexto del alumnado los elementos con los que trabajamos. Esto no es fácil, pero es más rentable y es nuestro trabajo. Y es muy divertido.

Gracias Paz por el amable comentario.
Respecto a los incentivos, sinceramente veo cierta monotonía decreciente (perdón) durante la ESO: cuando tengo alumnos de 1º de ESO veo que el mero hecho de aprender es suficiente para ellos (hablo, claro está, en media), mientras que alumnos adolescentes están más lejos de ese placer.
Respecto al estudio de las Matemáticas, nunca es tarde. Hoy estamos en una situación inmejorable para el contacto con ellas. Recomiendo encarecidamente los blogs divulgativos (en castellano) http://gaussianos.com/ , http://eliatron.blogspot.com.es/ y http://pequenoldn.librodenotas.com/matiaventuras/

En efecto, idealmente, se deberían aprender las cosas por el placer de aprender, la satisfacción de comprender cada vez mejor el mundo y descubrir lo increíblemente interesante que es.
Pero a ese planteamiento se llega en la madurez.
Los niños, y muchos mayores, necesitan otro tipo de 'incentivos'. Ayer mismo, oía a una madre a la salida del colegio decir que estaba apuntada a una academia (imagino que para hacer una oposición) y que no le salía ponerse a estudiar 'en serio' hasta que no saliera la fecha, que si no le resultaba complicadísimo 'ponerse'.
Entiendo que no es lo mismo, pero es una buena analogía.
Entonces, debería enfocarse a disfrutar del aprendizaje a pesar, o gracias, a la calificación como zanahoria.

Enhorabuena por su trabajo, me recuerda a un par de profesores de matemáticas que tuve. Muchas veces he pensado que debería haber estudiado exactas.

Entiendo que motivar a los estudiantes sobre la inmensidad del conocimiento es básico para que se entusiasmen por los estudios. Sin embargo, ayer asistí a una reunón del instituto donde acude uno de mis hijos y me quedé sorprendido por dos temas: primero: están en cuarto y resulta que hay compañeros suyos que aún arrastran asignaturas de primero, sgundo y tercero. El Director del centro comentó que cada vez los propios estudiantes deciden repetir, por una razón que ni él mismo sabía explicar. Segundo, me he quedado impresionado por la posibilidad de que cuando cumplan los 18 años los padres, a no ser que el alumno firme una autorización, ya no podremos conocer ni sus notas. En fin, tenía que decirlo.
http://interesproductivo.blogspot.com.es/

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Sobre el autor

Carlos Arroyo

ha navegado profesionalmente entre las cuatro paredes de un aula, la redacción de EL PAÍS y la dirección del Instituto Universitario de Posgrado. Esa travesía le ha convencido de que educar bien a los hijos es saldar buena parte de la deuda con la vida. Es autor de Libro de Estilo Universitario y diversos libros de ayuda al estudiante.

Web: www.ayudaalestudiante.com
Correo: arroyocarlos@ayudaalestudiante.com

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