Fórmulas que mueven el mundo

Blog de Javier Sampedro

Sobre el blog

El mundo lo mueven las fórmulas y las metáforas, pero las fórmulas son las metáforas por antonomasia. Una ecuación es una pauta oculta en la naturaleza. Las cosas ya eran así, al parecer, pero nadie se había enterado hasta que llegó el tipo de la fórmula. Por ejemplo, v=e/t. La velocidad (v) es el espacio (e) partido por el tiempo (t). Si la velocidad de la luz (c) es una constante, lo que tal vez explique su nombre (c), el espacio (e) y el tiempo (t) no pueden serlo. Haciendo un par de cuentas, de ahí se llega a E=mc2 en dos semanas. Ésa es la fórmula que transformó el Big Bang en ese cielo nocturno que se ve ahí fuera, y la que lleva 14.000 millones de años alimentando el cosmos de energía, si es que eso tiene algún mérito. Imagínense la factura. La fórmula es la metáfora por antonomasia: F=ma. Como queríamos demostrar .

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El autor

Javier Sampedro nació en Madrid en 1960. Entre 1983 y 1993 se dedicó profesionalmente a la investigación genética, primero en Madrid y después en Cambridge. Desde 1995 es redactor de El País, donde actualmente escribe sobre sanidad, ciencia y tecnología. Asegura ser un dibujante con aptitudes (y sin paciencia) y un guitarrista de jazz solvente (aunque sin audiencia), pero ninguna de las dos cosas ha podido ser contrastada.

agosto 2007

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11 agosto, 2007 - 03:07

Intuición elíptica

Si venimos al mundo equipados con una intuición geométrica, la elipse parece quedar fuera de su alcance. Lo primero que pensó Kepler tras estudiar detenidamente los movimientos de Marte es que su órbita describía un óvalo, lo que habría resultado una verdadera desgracia. Los óvalos están hechos con las sobras de cuatro redondeles mal pegados -se dibujan moviendo el pincho del compás cuatro veces- y ni siquiera tienen una definición geométrica precisa. ¿Dónde colocas el Sol en ese adefesio? Kepler descubrió después que la curva era en realidad una elegante elipse, con el Sol en uno de sus focos.

Los celtas y demás indoeuropeos que empezaron a emigrar hacia el oeste y el norte de Europa hace seis o siete milenios dejaron por todas partes "anillos megalíticos", pero los que no son circulares -como el más célebre, Stonehenge- recurren también a la chapuza del óvalo. Para trazarlo, los neolíticos pintaban un cuadrado en la tierra húmeda y clavaban un pincho en cada vértice. Luego desenfundaban su gran secreto tecnológico: la cuerda. Atando una cuerda a cada pincho, tiraban un arco de circunferencia desde cada centro y ya tenían un óvalo como cualquier otro. Después, con los menhires tampoco se notarían mucho los empalmes.

Sin hacer un solo cálculo, una simple cuerda permite biseccionar cualquier ángulo: la doblas en dos y pones un asa en la mitad; atas los dos cabos a las paredes del ángulo y tiras del asa: la línea que pasa por tu mano es la bisectriz. Menos montaje requiere biseccionar una línea: mides la línea con la cuerda y la doblas en dos. La cuerda neolítica no sólo fue heredada por los arquitectos de las grandes pirámides, sino también por los curas. Los sacerdotes del antiguo Egipto dejaban pasmada a la audiencia con las propiedades místicas de la cuerda circular de 12 nudos. Para empezar, por sí sola "generaba" un ángulo recto: basta doblar la cuerda como un triángulo de lados 3, 4 y 5 entrenudos. Como consecuencia del teorema de Pitágoras -que estudió para cura egipcio, por cierto- ese triángulo está forzado a ser recto. La cuerda se transmuta en los tres únicos polígonos regulares capaces de teselar el plano, y aún después en la mágica circunferencia de 12 radios que los antiguos seguimos llevando en la muñeca. Y pese a todos esos malabarismos, en 5.000 años nadie intuyó la elipse, una curva simple que se puede hacer con la cuerda, y sin necesidad de nudo alguno: atas un pincho a cada cabo, los clavas en el suelo y dibujas la línea deslizando un palo contra la cuerda: la curva es una elipse, y cada pincho es uno de sus focos.

Acabo con una pregunta al estilo del escriba Ahmes: tienes a 12 comensales invitados a casa. ¿Cómo los dispones en forma de elipse si sólo cuentas con una cuerda con un solo pincho?

Los_12_invitados

Esferas_de_dandelin Secciones_cnicas_3 Fuet

Focos_de_la_elipse_2

Comentarios

Ardo en deseos de leer lo que GA-qué-gran-blog-el-mío tiene que decir al respecto. :D

Una posibilidad es partir el pincho en dos y proceder como antes.

Otra, no tan destructiva, es poner la propia pierna en el segundo foco; aunque solo da para elipses moderadamente pequeñas.

Pues trazas una circunferencia, que es un caso particular de elipse, y santas pascuas. Y si algun comensal protesta... sacas el pincho y lo rajas.

el pincho no tiene por qué ser puntual y/o discreto, si es aplanado (como si fuera un rastrillo, vamos, una horquilla de agricultor para la paja) pues puede hacer las funciones de elipse. Claro, un chisme de esos tiene 4 pinchos, pero... no se, como un cuchillo de carnicero

"Los óvalos están hechos con las sobras de cuatro redondeles mal pegados -se dibujan moviendo el pincho del compás cuatro veces- y ni siquiera tienen una definición geométrica precisa."

"óvalo" ?? Los únicos que se denominan así en matemáticas son curvas algebraicas. Lo descrito sólo es analítico por trozos.

Sin embargo si que es más bonito que una elipse cuando los centros de los arcos circulares de mismo radio forman un cuadrado: Tiene 4 ejes de simetría mientras que la elipse no circular sólo tiene 2.

No convendría dar a entender que los "celtas o demás indoeuropeos" estaban a la cabeza del saber matemático.

"la curva es una elipse, y cada pincho es uno de sus focos."

Antes de Descartes eso era la única definición de foco (según Pappus).

"Los sacerdotes del antiguo Egipto (...) Y pese a todos esos malabarismos, en 5.000 años nadie intuyó la elipse"

Evidentemente aquí hay un problema cronológico. ¿Qué ocurre con Menaechmus y los 8 tomos de las cónicas de Apolonio ?


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Santiago-el-frustrado-genio-tonto-de-su-pueblo me recuerdas a alguien...haztelo mirar. ¿Te jode no tener nada relevante que decir al respecto? Pues a leer que eso es sano.

Lo más sano del mundo es leer,callar y admirar.(Y no necesariamente siguiendo este orden).

¿le pides a uno de los 12 comensales que sujete el otro extremo de la cuerda, en el segundo foco?

Haces una mesa redonda y antes de sentarse a comer les das abundante bebida a los comensales. La verán elíptica.

Buah!! Que problema tan fácil. Aunque sea tremendamente obvio voy a explicarlo:

-Vas Ikea (o a cualquier tienda de muebles) y buscas una mesa con forma de elipse.

-Sacas el pincho y amenazas al dependiente con él

-Le atas con la cuerda

-Te llevas la mesa a tu casa

-Llamas a doce amigos y les pides que vengan a tu casa (en caso de no tener doce amigos, utiliza el pincho para 'convencer' a la gente de la calle

-Una vez todos en tu casa, sigue amenazándoles con el pincho en la mano y ordénales que te monten la mesa.

-Cuando termines siéntalos alrededor de ella y hazles una foto. Intenta que sonrían, así que esconde el pincho

-Cuelga un enlace de la foto en esta página junto a tus datos para que JS te mande un cheque de 195 euros

Ya está, es muy fácil. Sólo me queda colgar la foto. Ahora os la enseño.

husmeando por Internet he encontrado la solución.
La que he encontrado no utiliza la cuerda para trazar curvas. En realidad utiliza dos segmentos de cuerda.

Quiza: lo que has encontrado es la definición, no la solución. Léelo mejor.

G.A.: hombre, por una vez que JS divulga vulgarizando un conceto sin cagarla... no la cagues tu. Óval es, precisa y perfectamente, lo que JS dice.

Resto que habéis intentado dar alguna solución no ditirámbica: no conozco la solución, pero no creo que sea trivial.

Para el de la solución ditirámbica: te falta el estrambote: tras las fotos, te comes demi-cuit sus hígados, pero no me refiero al plato de foie que cualquier buen anfitrión no dudaría en regalar a sus huéspedes, me refiero a los propios y meros hígados de los doce comensales...

Rafe Granero
Tengo la solución, pero no me parece muy correcto ponerla porque la he encontrado buscando en la red, no en mi cabeza.

OK, quiza, seguiremos en ello...

Santiago dijo:

"Ardo en deseos de leer lo que GA-qué-gran-blog-el-mío tiene que decir al respecto. :D"

Santiago: do not feed the trolls.

galoisiano-abeliano dijo:

"Santiago-el-frustrado-genio-tonto-de-su-pueblo me recuerdas a alguien...haztelo mirar. ¿Te jode no tener nada relevante que decir al respecto? Pues a leer que eso es sano"

Los insultos y términos despreciativos son conducta antisocial, que no es permitida en ningún blog serio. Los blogueros le rogamos que la evite en un futuro.

Dado que el autor del blog no se ocupa de estos detalles ni existe moderador, es preciso que los propios blogueros velemos por la etiqueta del blog. De lo contrario, éste languidecerá aún más. Gracias.

"por una vez que JS divulga vulgarizando un conceto sin cagarla... no la cagues tu. Óval es, precisa y perfectamente, lo que JS dice."

Rafa: Matemáticamente no lo es. Sólo conozco los óvalos de Cassini y el óvalo de Descartes. La definición de la RAE tampoco dice eso. ¿Tienes una referencia a lo que afirmas?

Además, debido a su alusión al movimiento planetario me hace pensar que JS confunde epiciclos con óvalos, o utiliza una definición puramente Kepleriana de óvalo que desconozco. Me extrañaría que los óvalos propuestos por Kepler no fuesen diferenciables (como los que define JS). Habrá que mirar en Kepler...pero hoy no tengo tiempo. Me ha dado trabajo la entrada de hoy. La pongo ahora.

Señor GA
¿tiene la solución a la pregunta?

"Señor GA
¿tiene la solución a la pregunta?"

Si estuviese bien planteada la pregunta...

Ponerlos en elipse es bastante fácil: El dodecágono regular es constructible con regla y compás, luego con cuerda y pincho (les dejo que encuentren cómo). Esto ya resolvería el problema pues un círculo es una elipse particular.

Sin embargo si queremos ponerlos en una elipse de excentricidad no nula, tomamos el dodecágono regular y elejimos dos invitados diametralmente opuestos. quedan pues cinco de un lado y cinco del otro. Los emparejamos los que esten cara a cara. Con la cuerda y la pica determinamos el punto central y los aproximamos por igual de la mitad (por ejemplo). Hay mil formas de hacer esto con regla y compás. Luego quedan todos en una elipse de excentricidad no nula. Sin embargo no están equidistantes...esto último no debe poder hacerse con regla y compás...

Seguramente la solución de Ahmes-JS es muy diferente..."se les situa a ojo de buen cubero...etc..."

Alucinado, no temas lo desconocido ni te pongas la venda antes de la herida. Ya se que estoy en la mirilla de los "funcionarios" de estilo por varias incorrecciones de mi comentarios. Tu, eres nuevo y sin enbargo sabes mas que los que estan tres horas dando la tabarra. Se quien eres, y te respeto por el trabajo que realizas diariamente o lo hace tu negro. Lo importante no es el color del gato, si negro o blanco, sino que atrape ratones. El juego no esta en contra del dilema diario de J.S, y él lo sabe. Es una vuelta de rosca al sentido natural de la libertad. No pregonamos que somos los mas liberales del universo universitario. Luchemos contra la dinamica de funcionario borreguil que nos imponen por las notas y chantage del suspenso. Demosle alegria al cuerpo y digamos quien es el infiltrado, aunque cambiemos de nombre para no dar pistas.

Do not feed the trolls.

GA, no creo, si podemos usar dos invitados los usaríamos de focos y nos sobraba el pincho que tenemos.

La solución puede ser el método empleado por los delineantes para trazar elipses, antes del advenimiento de Autocad.
Porque el "método del jardinero" con dos estacas y una cuerda no era el método "técnico" de hacer elipses.

¿porqué los geómetras no están cuando uno los necesita?
Mucha teoría, mucha teoría, pero los invitados van a tener que comer en el suelo.
Pondremos los platos en tablas... de logaritmos.

Óvalo: Geometría: traza dos circunferencias de igual radio de tal manera que se corten y que cada una de ellas pase por el centro de la otra. Desde cada uno de los dos puntos de intersección, traza un arco (que corresponde a una dircunferencia tangente a las dos existentes) que una las caras a él opuestas de las circunferencias. Resultado: cuatro arcos (con cuatro centros) que forman el óvalo

Óvalo de Cassini; ver cualquier enciclopedia...

Se trazan el eje mayor y menor de la elipse
sobre ellos se traza un rectángulo que es dividido por dichos ejes en cuatro rectángulos
Cada uno de los lados del eje mayor se divide en varias partes (pongamos doce)
para hacer la división con una cuerda, conseguimos una cuerda de la misma longitud
que el brazo del eje, juntamos los extremos extendemos la cuerda y ya la tenemos dividida
por dos, lo repetimos varias veces y tendremos la longitud de el brazo del eje dividido
por doce
Trazamos las divisiones
En los lados cortos de los rectángulos hacemos el mismo numero de divisiones. Naturalmente
serán más pequeñas.
Después trazamos una linea (con la cuerda) desde el extremo del eje más corto
pasando por la primera división del eje mayor (la más próxima al centro) y que llegue hasta
el exterior de los rectángulos
Trazamos otra linea desde el otro extremo del eje más corto hasta el lado corto y exterior
del rectángulo en el que termina la linea anterior.
El punto en que se cortan ambas lineas pertenece a la elipse.
Vamos pasando por todos los puntos y obtendremos una serie de puntos por los que
pasa la curva de la elipse. Solo hay que unirlos. A mayor cantidad de puntos más
fácil de terminar la elipse (con veinte en vez de doce, por ejemplo)
¿Donde recojo el premio?

donde pone
"En los lados cortos de los rectángulos hacemos el mismo numero de divisiones"
tiene que poner
"En los lados cortos externos de los rectángulos hacemos el mismo numero de divisiones"

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