Un acercamiento a la complejidad del mundo con los números

BENJAMÍN SUÁREZ ARROYO
EUGENIO OÑATE IBÁÑEZ DE NAVARRA

La historia muestra como las ciencias, y la tecnología, avanzan con el mayor conocimiento del hombre de los fenómenos de la naturaleza y del impacto que en ella ocasionan sus actuaciones. La necesidad de cuantificar la solución de un problema, bien sea de diseño y construcción de un edificio, la predicción de la vida de una célula, o la producción más económica de envases para alimentos, ha sido siempre ineludible. El aura de los números, que desde el inicio de los tiempos ha fascinado al hombre, ilumina la ciencia y la ingeniería modernas a través de los ordenadores y los métodos numéricos, que finalmente son uno de los motores que impulsan el desarrollo de las disciplinas científico-técnicas.

Lo imposible

FERNANDO OREJAS

En su famoso artículo de 1936, del que ya se ha hablado en otras entradas de este blog, Turing hacía varias cosas notables. Primero, definía un modelo de máquina (la máquina de Turing) que permitía dar una definición matemática, y  cercana a la intuición, de qué es lo computable. Segundo, demostraba que había una "maquina universal" que podía tomar otras máquinas como datos y comportarse como ellas. Finalmente, demostraba que hay problemas (matématicos) que ninguna máquina podría resolver, que son no computables o indecidibles. Estas aportaciones se consideran muy importantes desde un punto de vista matemático y filosófico. Pero, dejando aparte la relación entre la máquina universal y los computadores actuales, ¿tienen estos resultados algún interés práctico en informática? Si consideramos que, en la última reforma de planes de estudio en Ingeniería Informática, las asignaturas que estudian estas cuestiones han pasado a ser optativas en un buen número de centros españoles, quizá la respuesta sería no. Claro que, si consideramos que estos temas son obligatorios en los estudios de informática de prácticamente todos los centros de prestigio del mundo, tendríamos que dudar de la anterior respuesta y, quizá, preguntarnos por qué algunos de nuestros centros son diferentes.

Informática y creatividad

MACARIO POLO USAOLA

En ocasiones, la investigación y la generación de nuevo conocimiento dan lugar al nacimiento de nuevas disciplinas cuyos primeros expertos son, precisamente, aquellos que hicieron evolucionar lo viejo para dar lugar a lo nuevo: el matemático Pitágoras procedía de la Filosofía; Platón, además de filósofo, escribió sobre Política, Ética y Moral; Aristóteles, discípulo de Platón, escribió cerca de doscientas obras sobre temas tan variados como la Lógica, la Estética, la Ética o la Retórica; el médico Paracelso, que buscó en el siglo XVI el elixir de la vida eterna, se dedicó también a la Astrología; Pascal, uno de los físicos más relevantes del siglo XVII, fue también matemático y teólogo, además de filósofo; Newton, aparte de físico, fue teólogo y alquimista y buscó la Piedra Filosofal.

A propósito de Turing: Ciencia básica frente a ciencia aplicada

HECTOR GEFFNER

Pocos problemas tienen un carácter más teórico que determinar si hay más conjuntos de números naturales que números naturales, si una axiomatización de la lógica de predicados captura todas inferencias que son deductivamente válidas, o  si puede existir un procedimiento que demuestre que una inferencia es válida o no. Estos problemas no parecen tener mucho que ver con temas más profanos como envíar mensajes de texto, comprar entradas para un concierto por internet, o jugar al World of Warcraft (WoW). Sin embargo, estos y otros desarrollos prácticos que influyen de foma profunda en nuestra vida cotidiana están íntimamente vinculados a esos problemas teóricos mencionados inicialmente.

El vínculo se encuentra en los computadores desarrollados a partir de la década de los años 40, siguiendo un diseño que –en sus líneas fundamentales– había sido esbozado años atrás por el lógico matemático Alan Turing. Se trata de la famosa "máquina de Turing", que no fue diseñada para hacer nada práctico, aunque posteriormente Turing viera las posibilidades que tal "máquina" abría para el estudio del comportamiento inteligente. La "máquina de Turing", en papel, fue desarrollada para resolver un problema eminentemente teórico: el problema de encontrar un procedimiento para determinar la validez de una inferencia en lógica de predicados.  El problema había sido planteado por un famoso matemático, David Hilbert, en 1928. Tanto la formulación del problema por Hilbert, como su resolución por Turing, se apoyan en ideas desarrolladas por Hilbert y otros lógicos y matemáticos, entre los que cabe destacar a Boole, Cantor, Frege, Russell, y Godel; el "dream team" de la lógica moderna. La historia de este desarrollo está magníficamente contada en el libro "The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing", Martin Davis [1].

Turing demuestra rigurosamente que el procedimiento buscado por Hilbert no existe. Turing inventa "su" máquina como formalización de lo que es un procedimiento (un método de cómputo), y demuestra entonces que no puede haber tal máquina para el problema de Hilbert (el llamado "Entscheidungsproblem"[2], para diferenciarlo de otros problemas fundamentales también formulados por Hilbert). Para la prueba utiliza la idea de codificar máquinas con números, siguiendo el ejemplo de Godel quien introduce una idea similar para demostrar la incompletitud de la aritmética formal (otro problema planteado por Hilbert), y la  técnica de diagonalización, introducida antes por Cantor para demostrar que hay más conjuntos de naturales que números naturales, usada tambien por Godel en su prueba.

Turing no se queda en ese resultado sin embargo y construye una "máquina de Turing" (todavía en papel) que es "universal" en el sentido que este "hardware" particular puede ejecutar cualquier procedimiento. Más precisamente, esta máquina universal de Turing es programable: acepta la descripción de una máquina particular que resuelve un problema dado sobre una entrada, y emula el comportamiento de esa máquina sobre esa entrada.  La máquina universal de Turing es la madre del computador programable moderno. Que algo así era incluso posible no era obvio en los años 40 cuando los "computadores" se desarrollaban para resolver un conjunto específico de cáculos. El límite de la  máquina universal de Turing, por otro lado, es el límite de ordenadores actuales, el límite de lo computable.

Sorprende ver como un desarrollo que no estuvo motivado en modo alguno por aplicaciones "prácticas", ha tenido un impacto que quizás algun día se compare al desarrollo de la agricultura. La historia, sin embargo, no es inusual en el desarrollo de la ciencia, donde uno sabe donde empieza pero no donde termina. Esa es la promesa de la ciencia desde el punto de vista social, y la aventura del  científico desde el punto de vista personal.

Hector Geffner es investigador senior ICREA y profesor de la Universitat Pompeu Fabra.

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[1] Martin Davis es un matemático estadounidense, bien conocido por el algoritmo de Davis-Putnam para resolver el problema de satisfactibilidad booleana. Su libro “The Universal Computer” fue editado por Norton el el año 2000, y ha sido reeditado por Taylor & Francis en 2011.

Una excelente conferencia de Martin Davis sobre la naturaleza de la computación y los trabajos de Church y Turing se puede ver aquí. .

[2]  El "Entscheidungsproblem" fue resuelto de forma independiente por Alonzo Church y Alan Turing, en sendos artículos publicados en 1936 con pocos meses de diferencia. El artículo de Turing contenía la descripción de su “máquina”, lo que tuvo una inmensa repercusión posterior. Como curiosidad, cuando Turing escribió su artículo había terminado sus estudios de matemáticas en Cambridge (Reino Unido) pero no había comenzado sus estudios de doctorado. Alonzo Church fue el director de su tesis doctoral en Princeton (Estados Unidos).

Algunos vínculos entre los teoremas de Gödel y Turing

JOSEP PLA I CARRERA

A finales del siglo XIX y en la primera mitad del XX, hubo diversos intentos de formalizar y sistematizar las denominadas ‘ciencias puras’. Con respecto a las matemáticas, en su obra de 1899, Grundlagen der Geometrie, David Hilbert (1862-1943) plantea ya algunas de las ideas de lo que, desde entonces, irá consolidándose como su formalismo o teoría de la demostración. Ciertas partes ‘esenciales’ de la matemática —geometría, aritmética, topología, etc.— deben tratarse en un lenguaje formal a partir de unos axiomas ‘ad hoc’  que son los que configuran los objetos de la teoría y las interrelaciones que coexisten entre ellos. De hecho, los ‘objetos semánticos’ que se amagan detrás de los ‘objetos formales’ carecen de importancia: “No importa si se trata de puntos, rectas, planos o de mesas, sillas o jarras de cerveza”. Aparece aquí, agazapada, la distinción entre ‘teoría formal’ y ‘matemática formalizada’.

Este planteamiento lleva ínsito que el sistema axiomático formal responda a algunas características importantes, cuales son: la independencia de los axiomas (que le dan un carácter minimal que, sin ser esencial, es importante en este contexto por lo que tiene de clarificador), su completitud (los axiomas se eligen de manera que recojan toda la potencialidad de la ‘matemática’ que se formaliza: “todo lo que, en dicha matemática es cierto, la axiomática debe permitirnos demostrarlo”), y su consistencia (la ‘característica esencial’ y que dota de ‘existencia’ a los objetos de la teoría)[1].

 En el texto de lógica que publicara junto con Wilhelm Ackermann (1896 -1962), Grundzüge der theoretischen Logik (1928), se plantea una nueva cuestión que, en cualquier caso, debe ‘cuestionarse’: el “Entscheidungsproblem” o “problema de la decisión”: ¿Cabe un ‘algoritmo’ que ‘decida’ si una fórmula bien formada del lenguaje formal es un teorema de una teoría formal concreta?; y, en concreto, “¿el cálculo de predicados de primer orden es decidible o indecidible?”. Lo plantean, como ya lo hiciera Hilbert en 1900 en el enunciado del problema 10 o ‘problema diofántico’ en su lección señera del “Congreso Internacional de Matemáticas de París”, antes de que nadie hubiese elaborado una definición matemática precisa del concepto de ‘algoritmo’.

En 1930, Kurt Gödel (1906-1978) demostraría la ‘completitud’ del cálculo de predicados de primer orden: “Todo lo que se puede demostrar es verdadero y todo lo que es verdadero se puede demostrar”.[2] Este teorema hace referencia a la ‘lógica’ pero carece de lo que podríamos llamar ‘contenido matemático’. El resultado, análogo en el cálculo de proposiciones, establecido por Emil Post [1897-1954] en 1921, podía hacer pensar que quizás aquel cálculo, como lo era éste, sería decidible.

En 1931, el eminente matemático y lógico alemán cerraría —de una forma inesperada para Hilbert— las cuestiones de la completitud y de la consistencia de ciertas teorías matemáticas. En definitiva —y de forma breve— [primer teorema de incompletitud de Gödel] “cualquier teoría que contenga la aritmética de Peano convenientemente axiomatizada, y sea consistente, es incompleta”. Además [segundo teorema de incompletitud de Gödel] “es imposible dar una demostración de la consistencia de la teoría ‘dentro’ de la teoría”.

Para lograr establecer estos resultados —en particular, el primero—, Gödel recurre a una especie de “piedra de Rosetta”. Es decir, recurre a tres lenguajes distintos —el lenguaje ordinario, el lenguaje formal y el lenguaje matemático de la aritmética— para los que establece como se traduce de uno a otro[3], uno de los cuales es el lenguaje de la aritmética de los números naturales entendidos como objetos matemáticos y no como objetos formales.

Precisa cuales son los ‘diccionarios’. Los conjuntos, relaciones y funciones aritméticas ‘traducibles’ al lenguaje formal son los ‘primitivos recursivos’, un concepto que en ulteriores trabajos el propio Gödel ampliará ‘recursivo’. Resulta que las expresiones ‘metamatemáticas’ relativas al lenguaje formal —por ejemplo, “j(v₁) es una fórmula con la única variable llibre v₁”, “la sentencia s admite una demostración en la teoría formal”, etc.— se pueden transformar en conjuntos primitivos recursivos por medio de la gödelización.

Sin embargo, quedaba todavía en el tintero la cuestión de la decidibilidad de la teoría, la cual como ya hemos indicado depende de disponer de un concepto ’fino’ de algoritmo. Este problema sería resuelto en 1936, simultáneamente, por Alonzo Church [1903-1995], y Alan M. Turing [1912-1954].

La presentación de Turing es por su simplicidad y naturalidad la más comprensible y la que más proyección ha tenido en la teoría de la computación, y más si cabe porque, en el trabajo de 1936, establece la ‘existencia de la máquina universal’; esto es, una máquina U que, frente a unos datos, se puede comportar como cualquiera de las máquinas de computación M: puede sumarlos, multiplicarlos, etc. Basta con que indiquemos cómo queremos que se comporte en cada caso. Formalmente,

U(m_M, n₁,...,n_k):=M(n₁,...,n_k),

 en donde m_M dice a la máquina U que debe actuar como la máquina M; de hecho, cada máquina M admite un código numérico m_M.

Además, Turing, en general, usa el mismo lenguaje para dar la  ‘máquina’ —el programa computacional— como para realizar la computación, un avance realmente notable con respecto de quienes, antes que él, habían intentado ofrecer máquinas de cálculo. La suya, claro está, es una máquina teórica o formal antes que una máquina mecánica.

Con este concepto de ‘computabilidad’ Turing puede establecer dos resultados importantes:

1. El cálculo de predicados de primer orden no es decidible: “ninguna máquina puede decidir si una fórmula es o no un teorema del cálculo de predicados”.
2. Hay problemas que ‘no’ son computables:; así aparece el ‘problema de la parada’: “‘no’ es posible construir una máquina que, si le damos como entrada, el código m_M de una máquina M y unos ciertos datos numéricos n₁,...,n_k, nos diga si M(n₁,...,n_k) se parará o continuará procesando indefindamente”.

Hemos relacionado, pues, Turing con Hilbert.

Pero, ¿qué lo vincula con Gödel? La respuesta nos las dan las ‘funciones recursivas [parciales]’. Una máquina de Turing calcula las funciones recursivas y sólo éstas. Este es un vínculo muy estrecho entre algunos de los conceptos introducidos por Gödel y algunos de los conceptos introducidos por Turing que justifican, creo, que en 1963 Gödel añadiera un apéndice al artículo de su teorema de 1931 afirmando que las aportaciones de Turing permitían “una definición precisa e indudablemente adecuada de la noción general de sistema formal de los teoremas vi y xi”.[4]

Josep Pla i Carrera es profesor emérito de la Universitat de Barcelona.

Josep Pla acaba de publicar el libro: “El teorema de Gödel, Un análisis de la verdad matemática”  dentro de la serie de libros de autor de la Real Sociedad Matemática Española y con edición conjunta entre la RSME y SCIE como actividad del Año Turing / Año de la Informática. El libro se puede encontrar aquí.

El libro está dividido en tres partes. En la primera Josep Pla da una aproximación a la epistemología de la matemática, centrándose en el problema de la verdad en las matemáticas. En la segunda parte, más técnica, aborda la demostración de los teoremas de incompletitud de Gödel. Finalmente, en la tercera parte se analizan algunas consecuencias de los teoremas de Gödel. El libro admite dos lecturas: el lector que busque un texto divulgativo sobre la obra de Gödel verá satisfechas sus expectativas; para el especialista que busque una aproximación rigurosa a los teoremas de Gödel, este texto de Pla es una muy buena opción.

También se destaca que el trabajo sobre computabilidad de Alan Turing se inspiró en el de Kurt Gödel sobre lógica, resultando consecuentemente impregnado de verdad matemática. Así sucede con el conocido problema de la parada para la máquina de Turing cuyo propio enunciado constituye a su vez el paradigma de existencia de funciones no computables.

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[1] El lector interesado puede ampliar esta presentación en Pla i Carrera, J. (2013), capítulo 7, págs.145-161.

[2] Para disponer, sin embargo, de la ‘definición’ precisa de ‘verdad’ o ‘validez’ habría que esperar al genial artículo de Alfred Tarski [1902-1983] de 1936. Véase Pla i Carrera, J. (2013), págs.185-191.

[3] El lector interesado puede recurrir al capítulo 11 de Pla i Carrera, J. (2013).

[4] El lector interesado puede recurrir a Cutland [1980], capítulo 8, págs. 143-156.

Referencias

Church, Alonzo (1936). “A note on the Entscheidungsproblem”. Journal of Symbolic Logic, págs.  40–41.

Cutland, Nigel (1980). Computability. An introduction to recursive function theory. Cambridge University Press. Cambridge.

Gödel, Kurt (1930).“Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls”. Monatshefte für Mathematik und Physik, 37, págs. 349-360. Traducción castellana en Gödel, K. (1981), págs. 20- 34.

Gödel, Kurt (1931).“Ûber formal unentscheidbare Sâtze der Principia Mathematica und verwandter System”. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, págs. 173-198. Traducción castellana en Gödel, K. (1981), págs. 45-89.

Hilbert, David (1899). Grundlagen der Geometrie. Teubner: Sttugart.

Hilbert, David (1900). “Mathematische Probleme”, Archiv für Mathematik und    Physik, 1, págs. 44-63; 213-237. Traducción castellana de Javier García, en Gray, Jeremy (2000), El reto de Hilbert. Drakontos. Crítica, Madrid: 2003.

Hilbert, David y Ackermann, Wilhelm (1928). Grundzüge der theorestischen Logik. Springer. Berlin. Traducción castellana de Víctor Sánchez de Zavala, Elementos de Lógica Teórica. Editorial Tecnos: Madrid, 1962.

Pla i Carrera, Josep (2013), El Teorema de Gödel. Un análisis de la verdad matemática. Real Sociedad Matemática Española. Madrid: 2012.

Post, Emile (1921). “Introduction to a general theory of elementary propositions”. 43, págs. 163-185.

Tarski, Alfred (1936). “Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen”. Studia Philosophica, 1, págs 261-405.

Turing, Alan Mathison (1936). “On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem”. Proceedings of the London Mathematical Society, 42, págs. 230-265.Véase http://www.abelard.org/turpap2/tp2-ie.asp.

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Cuando la informática es clave en la cooperación al desarrollo

SUSANA MUÑOZ HERNÁNDEZ

Es dificil decidir cuáles de las áreas tradicionales de cooperación han sido, y son, decisivas en el desarrollo humano. Durante décadas, instituciones gubernamentales y civiles han trabajado en asistencia médica y sanitaria, han luchado contra las crisis alimentarias y han trabajado en la educación. Cuando nos presentaban a alguien que se dedicaba a trabajar en paises del tercer mundo (o del sur o en vias de desarrollo, como queramos llamarlos) automáticamente imaginábamos que esa persona debía ser médico, misionero o profesor. Desde la perspectiva ingenieril no es dificil ampliar este abanico y que se nos ocurran otras áreas, también decisivas, como la ingeniería civil (los trabajos en infraestructuras de comunicaciones terrestres o marítimas, de accesibilidad al agua, ...) o la arquitectura (proyectos de habitabilidad básica por ejemplo en campos de refugiados, de reconstrucción en caso de desastres naturales, etc.) Estas son labores que, si bien no son las primeras que se nos vienen a la mente cuando pensamos en trabajos de cooperación al desarrollo, no nos son, tampoco, ajenas puesto que, al fin y al cabo, estamos acostumbrados a ellas por los proyectos de grandes organizaciones de ayuda humanitaria como Cruz Roja, Naciones Unidas y otros.

Pero el desarrollo humano actual no depende exclusivamente de estas disciplinas. Empieza a resultarnos habitual la incorporación de las nuevas tecnologías a todos los ámbitos y el de la cooperación al desarrollo no deja de ser uno de ellos. Comenzamos a asociar el campo de las comunicaciones a los proyectos de paises en vías de desarrollo. Antenas parabólicas para comunicar via satélite comunidades remotas, repetidores para dar acceso universal a la telefónica movil en zonas inaccesibles, conexiones via internet utilizando coverturas wifi para dar teleasistencia a centros médicos de zonas aisladas o deprimidas.

Y ¿donde queda la informática en todo esto? ¿hemos oido alguna vez hablar de cooperantes informáticos? ¿nos parece un proyecto de informática algo prioritario en el ámbito de la cooperación internacional al desarrollo? La mayoría de la gente respondería “no” a las dos últimas preguntas y, sin embargo, la respuesta debería ser “si”.

¿Basta la prueba de Turing para definir la “inteligencia artificial”?

MANUEL ALFONSECA

En un artículo anterior en este mismo blog (ver aquí) Simone Santini abordó el tema de la prueba de Turing, que en su día se propuso como criterio que algún día podría ser útil para decidir si una máquina de cómputo puede o no ser tan inteligente como el hombre. En una de las diversas formas en que ha sido expresada, la prueba de Turing viene a decir esencialmente que: si la máquina llegara a ser capaz de engañar a los seres humanos, haciéndose pasar por humana, con la misma facilidad con que un ser humano puede engañar a otro, habría que considerarla inteligente.

El término inteligencia artificial fue inventado en 1956 por John McCarthy para dar nombre al campo de la informática que se dedica al estudio y al diseño de máquinas inteligentes. Algunos resultados preliminares prometedores en este campo (la demostración de teoremas matemáticos sencillos, así como programas capaces de jugar a juegos tradicionalmente considerados inteligentes, como las damas), llevaron a los investigadores de finales de los años cincuenta a lanzar las campanas al vuelo y a predecir que, en solo diez años, sería posible construir programas capaces de ganar al campeón del mundo de ajedrez, y resolver de forma aceptable el problema de la traducción automática de un idioma a otro.

Pasaron los diez años y nada de eso ocurrió. El ajedrez resultó ser un juego mucho más complicado que las damas. En cuanto a la traducción automática, la ambigüedad sintáctica y semántica de las lenguas humanas, que además es distinta en cada una de ellas, hace casi imposible realizar una traducción perfecta sin disponer de una imagen global del mundo que las máquinas no poseen. Basta pensar en frases como estas:

• Frases con ambigüedad sintáctica: Pasaré solo este verano aquí. No pude estudiar derecho.
• Frases con ambigüedad semántica (doble sentido): Nos vemos mañana en el banco. ¡Pare la mula!

El fracaso de las predicciones provocó el desánimo de los investigadores en inteligencia artificial, muchos de los cuales se dedicaron a otras cosas. Sin embargo, aunque con altibajos, y no siempre con resultados completamente satisfactorios, los avances continuaron llegando en un goteo continuo: sistemas expertos, redes neuronales artificiales, algoritmos genéticos... En 1997, 30 años después de lo previsto, un ordenador consiguió por fin vencer por primera vez al campeón del mundo de ajedrez (dejando aparte la cuestión de si el programa que lo consiguió puede realmente considerarse inteligente). Existen ya sistemas razonablemente buenos de traducción automática, aunque todavía es preciso que un ser humano las repase antes de utilizarlas, pues contienen demasiados errores. También ha avanzado mucho la conducción automática de vehículos (coches y aviones).

Entretanto, la prueba de Turing sigue siendo inabordable para las máquinas. Cuando se dialoga con una de ellas, no se tarda mucho en descubrir que no estamos hablando con un ser humano, lo que quiere decir que no consigue engañarnos. Pero supongamos que algún programa, funcionando en una computadora, fuese capaz de conseguirlo en un futuro más o menos inmediato. ¿Podríamos asegurar que las máquinas habrían llegado a ser tan inteligentes como nosotros? ¿Es suficiente la prueba de Turing?

En 1980, el filósofo John Searle contestó negativamente a esta pregunta, y para demostrarlo propuso una nueva prueba: la habitación china. Veamos en qué consiste:

1. Supongamos que disponemos de un programa de ordenador que es capaz de pasar satisfactoriamente la prueba de Turing dialogando con una mujer china (por ejemplo). En la conversación, tanto la mujer como el ordenador se expresan en chino; es decir, utilizan caracteres chinos para comunicarse por escrito a través de un teletipo. El ordenador, que está encerrado en una habitación para que la mujer no lo vea, lo hace tan bien que es capaz de engañarla, por lo que la mujer creerá estar dialogando con un ser humano que conoce perfectamente la lengua china.
2. Ahora Searle propone sacar de la habitación al ordenador, y en su lugar se coloca él mismo, que no sabe chino, aunque iría provisto de una descripción comprensible del programa que utilizaba la computadora para dialogar con la mujer. En principio, utilizando ese programa, Searle sería capaz de dialogar con ella en su propia lengua tan bien como lo hacía el ordenador. Cada vez que recibiera un texto escrito en chino, aplicaría las reglas y escribiría los signos correspondientes a la respuesta que habría dado el ordenador.
3. Pero en el caso de Searle tenemos un dato adicional: él sabe que no sabe chino, y por lo tanto no se ha enterado de una palabra de la conversación que ha tenido con la mujer, aunque esa conversación haya sido coherente y capaz de engañarla, haciéndola pensar que estuvo dialogando con un ser humano que conoce la lengua china.
4. La cuestión clave, por lo tanto, es la siguiente: ¿entiende el ordenador la conversación que ha mantenido con la mujer? Y si no la entiende, como es de suponer, pues su actuación ha sido idéntica a la de Searle, ¿es consciente de que no la entiende, como Searle sí lo es?

Luego no basta que un ordenador sea capaz de pasar la prueba de Turing para que podamos considerarlo tan inteligente como nosotros. Hacen falta dos cosas más: que el ordenador comprenda lo que escribe, y que sea consciente de la situación. Mientras eso no ocurra, no podremos hablar estrictamente de inteligencia artificial.

Searle propuso distinguir dos tipos de inteligencia artificial:

• Inteligencia artificial débil: la que podría alcanzar una máquina que pasara satisfactoriamente la prueba de Turing.
• Inteligencia artificial fuerte: la que tendría una máquina que tuviera una mente semejante a la humana, capaz de comprender y de saber si comprende o no comprende.

El problema es importante, porque introduce cuestiones para las que no tenemos respuesta, como si la consciencia puede programarse, la dualidad mente-cuerpo, cómo nos identificamos con los demás, o qué significa comprender un texto escrito o cualquier otra representación simbólica.

Manuel Alfonseca es catedrático de la Universidad Autónoma de Madrid.

Los orígenes hispanos del libro electrónico: Ángela Ruiz Robles o la innovación al educar

DANIEL GONZÁLEZ DE LA RIVERA GRANDAL

JUAN JOSÉ MORENO NAVARRO

Bien podría definirse a un país por cómo trata a sus grandes personajes tanto en vida como después de ella. Los restos de Newton yacen en la Abadía de Westminster, junto a monarcas, primeros ministros y otros grandes británicos. El genial matemático Alan Turing ha recibido reconocimientos póstumos, aunque falta el perdón por su encarcelamiento. El panteón de franceses ilustres de París presume de albergar las tumbas de las más grandes mentes galas, entre ellas una multitud de científicos e inventores, como Marie Curie (doble premio Nobel), Pierre Curie (premio Nobel) o Louis Braille.  

Desgraciadamente no es así en el caso de España y la diferencia no es tanto como se despide a sus mejores cerebros sino la falta de reconocimiento tanto a la persona como a sus aportaciones. Podríamos poner una multitud de ejemplos, pero queremos centrarnos aquí en un personaje donde su imaginación solo queda por debajo del desconocimiento que se tiene de sus invenciones.  Pero además nos sirve de paradigma sobre algunos de los problemas con los que se enfrenta la I+D+i y también la educación de este país.  Nos referimos a Ángela Ruiz Robles. ¿Su nombre no les dice nada? Pues esta maestra de origen leonés debería pasar a la historia como la inventora el libro electrónico. Lamentablemente todo el mérito (y los beneficios económicos consiguientes) se lo lleva ahora Michael Hart, que en los anales aparece como su inventor en 1971. Pero mucho antes, en 1949, Ángela Ruiz Robles presentó una patente (número 190.698) y desarrolló un prototipo posterior de su libro mecánico.

Las matemáticas de Alan Turing

MANUEL DE LEÓN

Alan Mathison Turing ha sido uno de los matemáticos más excepcionales del siglo XX. Sin embargo, el éxito de la aplicación de sus resultados a las ciencias de la computación ha sido tan grande que ha opacado el valor de sus matemáticas. A esto se añade que su trabajo en la descodificación de los códigos de las máquinas Enigma en la Segunda Guerra Mundial ha sido valorado relativamente tarde, y todavía depara sorpresas matemáticas a medida que los materiales secretos del ejército británico van siendo desclasificados.

Los primeros intereses de la investigación de Turing están intímimamente relacionados con los fundamentos de las matemáticas. Un curso de Max Newman en la Universidad de Cambridge sobre los resultados de Kurt Gödel despertó su interés. Vayamos al contexto del momento. En 1900, con ocasión del Congreso Internacional de Matemáticos de París, el matemático alemán David Hilbert había enunciado sus famosos 23 problemas, que marcaban la agenda de los matemáticos para el siglo XX. El segundo problema de Hilbert concernía precisamente a la consistencia de los axiomas de la aritmética. Digamos también que Hilbert había tratado de emular la obra de Euclides estableciendo los fundamentos de la geometría con su obra maestra Grundlagen der Geometrie publicada en 1899. Como dice Hilbert en su obra, los elementos tales como el punto, la recta, el plano y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos, sin que suponga ninguna diferencia, porque lo que importa son las relaciones que hemos definido entre ellos.

Y no solo se quedó en la geometría, sino que Hilbert atacó los propios fundamentos de las matemáticas en su famoso programa que pretendía formularlas sobre unas bases sólidas y lógicas, eligiendo un sistema consistente de axiomas del que se podría deducir el resto de la disciplina.  Recordemos también que Bertrand Russell había asestado un duro golpe a la teoría de conjuntos que parecía fundamentar las matemáticas.

La ilusión de Hilbert de que en matemáticas no había ignorabimus, esa fe ciega en el poder del intelecto humano encerrada en su afirmación: Wir müssen wissen, Wir werden wissen, es decir, debemos saber, sabremos, habían quebrado con la demostración de Kurt Gödel en 1931 de que en cualquier sistema axiomático que contenga la aritmética de los números naturales existen proposiciones verdaderas sobre ellos que no pueden demostrarse a partir de los axiomas.

Ahí es donde entra Turing. A raíz del artículo de David Hilbert en 1928 sobre el Entscheidungsproblem, o problema de la decisión, Turing escribe su artículo "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem", en el que reformula los resultados de Gödel reemplazando el lenguaje formal basado en la aritmética en otra aproximación basada en un nuevo concepto, la máquina de Turing. Y así prueba que tales máquinas pueden efectuar cualquier cálculo que podamos concebir.

Es por tanto en las raíces de la fundamentación matemática de donde se alimenta Alan Turing. Pero a la vez, siempre añade ese valor computacional y práctico que impregna todo su trabajo. Este es un aspecto de Turing que nos gustaría destacar y que nos imparte una gran lección a los matemáticos actuales que desarrollamos nuestro trabajo de investigación más de medio siglo después. En efecto, en años posteriores, Turing no solo puso los fundamentos sino que trabajó en desarrollar algoritmos y en la propia construcción de los primeros computadores modernos.

Su trabajo en biología es otro ejemplo de esa manera en la que Turing veía la ciencia. Este tema ocupó los dos últimos años de su vida, desde 1952 a su trágica muerte en 1954. Publicó un artículo titulado The Chemical Basis of Morphogenesis, donde formuló la hipótesis sobre la formación de patrones basada en las ecuaciones de reacción-difusión. Morfogénesis (literalmente, el origen de la forma) es el proceso biológico por el que un organismo desarrolla su forma. Previamente a Turing, D'Arcy Thompson, en su famoso libro On growth and form, trató de explicar las formas animales basándose en tasas de crecimiento variable en varias direcciones, pero fue Turing el que predijo que la acción de dos agentes químicos (activador e inhibidor) creaba los patrones. En su artículo, Turing considera modelos matemáticos simples y realiza cálculos numéricos y simulaciones. Como siempre en su investigación, las premisas teóricas van acompañadas de los desarrollos computacionales que los justifican. Como cierre a sus contribuciones en biología, este mismo año 2012 se ha anunciado la primera confirmación experimental de la hipótesis de Turing, una excelente manera de celebrar su aniversario.

Turing consiguió también resultados puramente matemáticos, por ejemplo, en grupos de Lie, pero sobre todo en álgebra lineal, al descubrir la descomposición LR de una matriz, técnica clave en la ingeniería.

Este año, en nombre de la Real Academia de Ciencias, hemos organizado un simposio en la Fundación Areces, El legado de Turing, precisamente con la intención de poner de manifiesto el carácter matemático de Turing. Y está en vías de publicación un número especial de ARBOR en el mismo sentido. Es importante, en nuestra opinión, no olvidarlo, y fomentar ese modelo de matemático a caballo entre la investigación más básica y las aplicaciones.

Manuel de León es profesor de investigación del CSIC y director del instituto ICMAT.

Alan Turing y la estadística Bayesiana

PEDRO LARRAÑAGA / CONCHA BIELZA

La mayoría de las notas, artículos, comentarios y actividades académicas ofrecidas durante este año 2012, centenario de su nacimiento, tratan de mostrar el trabajo pionero desarrollado por Alan M. Turing, circunscribiéndose a la máquina de Turing, y a su relación con el problema de decisión propuesto por David Hilbert (“Enstcheidungsproblem”). Esta nota, sin embargo, expone una faceta menos conocida de su trabajo, como es su aportación a la estadística Bayesiana.