Cuéntate otra

Dos preguntas tontas para un 1 de agosto, impar y primo. Primera, ¿por qué contamos hasta 10 y luego damos la vuelta? No, no me vengas con el tema de los 10 dedos, porque ésa es justo la segunda pregunta: que por qué tenemos 10 dedos. Por casualidad, ¿no? Vaya una fórmula.

Los bichos que inventaron los dedos hace 360 millones de años, como el pez con aspiraciones anfibias Acanthostega, no tenían 10 dedos, sino 16. Es la mejor fórmula para echar a andar, si haces un par de cuentas: si de entrada tienes un húmero, lo multiplicas por dos y da un cúbito y un radio. Otra vez por dos da un carpo de cuatro, que por dos da un metacarpo de ocho. De ahí los ocho dedos en cada mano. Tampoco vas a pedirle raíces cuadradas a Acanthostega.

No es que en el devónico hicieran falta ochos dedos. Ni había acabado el devónico, de hecho, cuando un primo de Acanthostega, el Tulerpetón, que con ese nombre no querría hacerse famoso, ya se había quitado dos dedos de encima. La solución de los cinco dedos fue hallada por el Greererpetón y otros anfibios del carbonífero hace más de 300 millones de años. No es universal, naturalmente, pero sí muy popular. Por ejemplo, la compartimos con la mayor parte de las especies de tortugas.

Parece ser que las fórmulas se inventaron en África bastante antes que en Mesopotamia. Tomen los dos huesos de Ishango, hallados en 1960 en el entonces Congo Belga (República Democrática del Congo) y conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales, en Bruselas. Tienen unos 10 o 12 centímetros de largo y están totalmente cubiertos de muescas transversales agrupadas en cifras.

Una serie, por ejemplo, dice 11, 13, 17 y 19. Es un cuadruplete de primos: si p es un número primo, un cuadruplete es (p, p+2, p+6, p+8). El pobre p+4 no puede estar porque siempre es divisible por 3, y por tanto no es primo. Un cuadruplete de primos se compone de dos pares de gemelos: dos primos con sólo un número en medio, como 11 y 13. Y los cuatro miembros del cuadruplete suman 60.

¿Alguien sabe contar con los dedos hasta 60? Hay que hacerlo a docenas (en base 12, en la jerga). Con una sola mano, el pulgar va tocando cada falange de los demás dedos (1, 2, 3 en el índice; 4, 5, 6 en el dedo medio, etcétera). Al llegar al 12 (la punta del meñique), se apunta 'una docena' con un dedo de la otra mano y se vuelve a empezar. Está en base 12 (4 por 3 falanges). La siguiente pregunta es: ¿Por qué tenemos las falanges por docenas?

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Hueso de Ishango

http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/cauty_nombres/texte.htm

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La evolución del número de dedos:

de la excelente página de Alec MacAndrew: Discovery of a Transitional in Romer's Gap http://www.evolutionpages.com/pederpes%20finneyae.htm

Comments

[Publicado por: Leafar]

Pues empezamos bien...
He leído el artículo en papel esta mañana, con el desayuno, y he corrido a buscar el blog para escribirle; han tardado un ratito en ponerle "online".
En fin, a lo que iba: en la primera frase la hemos liado. El uno NO es un número primo. Un número primo (cito de la Wikipedia) es aquel que puede dividirse únicamente por dos números enteros positivos (el uno y sí mismo). El uno sólo se puede dividir por uno, con lo que no es primo.
Luego, en función de lo que contesten otros más sabios, hablamos de decenas y docenas.
Un saludo, y feliz blog.

[Publicado por: Rafael Granero Chulbi]

Querido Sampedro,

De hecho, contamos hasta nueve, y luego damos la vuelta, pero eso lo hacemos mediante una aplicación que (horror vacui mediante) liga el primer número natural (el 1, según Peano) con el número entero básico (el cero, según las matemáticas). Pero contamos de 0 hasta 9 y luego vuelta a empezar. Y no podemos contar hasta uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, tiel, erán... porque tiel, erán... no existen, aunque puedan ser genéticamente aceptables por el idioma castellano (por cierto, recuerdos de Alex Grijelmo desde su libro «El genio del idioma»: ya vi que de allí sacaste algunas de tus prudentes ideas de la revista de verano del año pasado... en fin, que no se puede tener amigos que publiquen con éxito). Palote, palote, palote, palote y (a semejanza del opositor pulgar) un palote que los cruza: esto vale para las manos, pero no para los pies: su pulgar no se opone, así que (4+1)x2 es igual a...

Numeración romana: I, II, IIII, IIII... y V; VI, VII, VIII, VIIII... y X (“La notación sustractiva (restar el número de la izquierda al de la derecha) - que usa IV en vez de IIII - sólo ha sido de uso común en la actualidad.” http://www.conoze.com/doc.php?doc=3662)... Levanta el índice: I, ahora añádele el corazón: II, ahora súmale el anular: III, ahora agrégale el meñique: IIII, ahora une todos ellos y, separado levanta el pulgar: V, ahora levanta el índice de la otra mano... Curioso ¿no? Si alguien anda como un pato, cuacua como un pato, nada como un pato y come como un pato... es muy posible que sea un pato (cosas de la kantiana razón pura, querido Sampedro) así que sí te vengo con el tema de los diez dedos. Pero si todo empezó con 16 dedos ¿por qué diez dedos? Cuestión de eficiencia energética: menos dedos, menos coste de mantenimiento ¿nos hemos parado en 4 más 1 por 2 dedos? Ya te contestaré dentro de 100 o 200 mil años: paciencia, que es la madre de la ciencia (eso decía mi abuelo...).

Está claro que o te entiendo mal o 9, 11, 19, 21 no son todos primos ¿verdad?, y dado un primo (el 7, por ejemplo) p + 4 es primo... Algo he perdido de tu explicación: 11 no es divisible por 3, ni en la aritmética cuántica (si es que tal cosa existe, claro)

Para finalizar, eres un tramposo (lo cual, si es lo que buscas, es aceptable en la revista de verano), pues juegas con la metonimia (la figura retórica que, entre otras cosas, confunde el efecto con la causa). Tu silogismo (una docena es doce, doce es el numero de falanges, el número de falanges es una docena) adolece de varias de las falacias posibles: confunde el sujeto con el predicado y juega con que la partícula "es" tanto permite establecer una identidad (con lo que no aporta conocimiento alguno) como atribuir –predicar– una categoría (pero no es éste el caso, querido Sampedro: tu juicio es analítico a posteriori, basado en la experiencia empírica –“Kant y el grillo sordo”, EL PAÍS, 30/07/2003, Jorge Wagensberg–) Existe la docena porque para contar no podemos autoutilizar las falanges trece y catorce (o una y dos, o cero y una) del quinto dedo (el opositor pulgar) que va indicando las doce (de catorce) restantes. La docena es el número de falanges contables, y no al revés.

Me alegro de poder dirigirme a ti otra vez.

[Publicado por: Josef K.]

Hala, al lío. Trabajamos poco durante el año, pero Agosto es un sin vivir.

Bien hallado, Javier. Prepárate, que tengo una colección de atizadores nuevos a estrenar.

Cosas que me sugiere tu post: el uso de "¿por qué?" sigue siendo un vicio común. "Cómo" da menos problemas. Esbozas bien una línea evolutiva que desemboca en el sistema métrico decimal, pero no veo que haya una "razón" especial. Las cosas ocurren y las mutaciones que suponen una ventaja se mantienen a lo largo del tiempo. Ocho dedos serían probablemente demasiados para sacar buen rendimiento de ellos. Cinco no es un número especialmente mágico, pero hasta ahí llegamos. No lo veo especialmente intrigante.

El supuesto cuadruplete de primos. Bueno, imagino que sería un enigma acojonante si todas las tablillas del planeta tierra (o de la margen izquierda del Zambeze, pongo por caso) estuviesen adornadas con un bello cuadruplete, lo que no es, claro, el caso. De unos N millones de tablillas con incisiones bien puede una salir con un cuadruplete, pero es que, estimado Javier: LO HAS PUESTO MAL!!! 9 no es primo y 21 tampoco!!!. Querías decir: 11, 13, 17, 19. O eso, o tus africanos son un poco zotes en esto de la teoría de números avant-la-léttre.

Por cierto, ¿alguien puede darnos una prueba rápida, tipo Pero Grullo, de por qué, si "p" es primo, "p+4" es múltiplo de 3? Es muy fácil.

Por último: las falanges no vienen en docenas. Nosotros tenemos catorce, sin ir más lejos, salvo que el pulgar no tenga, que sí tiene: dos. ¿Por qué vienen en catorcenas? Ni idea, cosas que pasan.

Enhorabuena por la columna, Javier, y no te preocupes, que este verano estoy de muy buen rollito. Te atizaré con muchísimo cariño, ya sabes que te aprecio.

[Publicado por: Josef K.]

Discrepo, amigo Leafar: el 1 es primo primísimo. Sólo se puede dividir por 1 y por él mismo (1). Las listas de primos de toda la vida empezaban 1,2,3,5,7,11,13...

La definición de primo es negativa: NO tienen otros divisores que el 1 y ellos mismos. Eso lo cumple el 1 estupendamente.

[Publicado por: Josef K.]

Rafael, para que el p+4 sea divisible por tres deben haber sido previamente primos p y p+2, que es el requisito para formar el cuadruplete que nos propone Sampedro. 7 y 11 son primos, pero no 9, que es divisible por 3.

[Publicado por: Espejo Lúdico]

Vaya, pensé que se había formado un revuelo tremendo con lo de que 9 y 21 son primos, ¿o no querías decir eso?

Y lo de las cuaternas p, p+2, p+6, p+8, además de que no coincide con ese ejemplo numérico (aquí sería p, p+2, p+10, p+12), entiendo que habrá sólo algunos casos como (5, 7)y(11, 13), (11, 13)y (17, 19), (101, 103) y (107, 109), (191, 193), (197, 199), etc...

[Publicado por: Espejo lúdico]

Y lo de 1 primo o no, me parece una discusión tan interesante como inútil. Como otras: ¿Es el cero natural? ¿Es el cuadrado un tipo de rectángulo?, etc...

[Publicado por: quiza]

Recuerdo un relato en el que una civilizacion tenia un sistema numerico sin base. Es decir cada numero tenia un nombre propio totalmente diferente. Tal vez no tenian dedos.

[Publicado por: David]

¿Para qué números primos funciona el cuadruplete? No funciona para 1 (p+8 no es primo), ni para 2 (todos los restantes son pares, ni para 3 (p+6 vuelve a ser 9). Contar en base 10 es relativamente reciente, contamos en base 60 cuando agrupamos los segundos en minutos y los minutos en horas. En idiomas no muy lejanos al nuestro para decir 99 hablan de cuatro veces veinte y diecinueve más. Ejemplos a patadas. ¡Ah! ¿que por qué tenemos 12 falanges (que no son 12 sino 14, como decía alguien más arriba? Ni idea, pero resulta práctico para contar los huevos, que se han vendido por docenas desde antes de que los cartoneros inventaran el envase normailzado. Ves, alguien sigue contando en base 12. Salud.

[Publicado por: Surikata]

A la pregunta de Josef K: 13 es primo, y 13 +4 no es divisible entre tres. No sé si siempre se cumple esa regla del p+4... Tengo media respuesta para tu pregunta: Si p es primo, en principio, y salvo el 2,es un número par no divisible por 3, es decir, deja un resto de 1 o 2. Si deja un resto de 2, p+4 dejaría un "resto" de 6, es decir, el número es divisible entre 3. Me falta la mitad de la respuesta para los que dejan un resto de 1 (el 13, por ejemplo ;-) ).

Bienhallado, Javier.

[Publicado por: Aristarco]

Recomiendo la lectura de "Ocho cerditos" de Stephen Jay Gould.
El ensayo que da el título al libro glosa muy bien las vicisitudes de Acanthostea y sus descendientes.

[Publicado por: euclides]

El número uno no es primo, simple y llanamente por convenio matemático.

[Publicado por: Josef K.]

Espejo lúdico: el 1 es primo, el 0 no es natural y el cuadrado es un tipo de rectángulo (y la circunferencia un tipo de elipse). No creo que se pueda discutir mucho sobre ello, porque se trata de definiciones (arbitrarias, pero rotundas) y casos en los que se cumplen.

Y, en efecto, la base 10 no es obligatoria. Los sistemas de numeración que empleaban los mesopotamios giraban en torno al 60 y, como se ha dicho, siguen vigentes en nuestro modo de medir el tiempo. La electrónica moderna ha puesto de moda los sistemas binario, octal y hexadecimal. Que el sistema decimal sea el más común y por ello nos resulte el más "natural" no quiere decir nada más que estamos acostumbrados a él.

[Publicado por: Javier Sampedro]

Si, queria decir 11, 13, 17, 19, ya lo he corregido en la entrada, perdon por la burricie y saludos desde Düsseldorf!

[Publicado por: Leafar]

En efecto, en ciencia hay muchas discusiones, y algunas son inútiles. Lo bonito (para mí, llamadme geek) de las matemáticas es que intentan llegar a definiciones absolutas que sirvan para todos los casos. Sí, el cuadrado es un tipo de rectángulo porque tiene cuatro ángulos rectos y los lados iguales y paralelos 2 a 2 (rectángulo es una definición más general que cuadrado). No, el uno no es primo porque no tiene DOS divisores distintos, sino sólo uno. En cuanto a lo del 0 como número natural, ahí depende de a quién preguntes: a alguien especializado en teoría de números, o a alguien que trabaja en teoría de conjuntos.

Y si esto fueran discusiones inútiles... ¿qué hacemos aquí hablando?

"A más cómo, menos por qué "(J. Wagensberg)

[Publicado por: Josef K.]

Surikata, ya he dicho que el requisito para que p+4 sea primo es que previamente lo sean p y p+2, como establece Sampedro en el procedimiento para completar el cuadruplete. Si p y p+2 son primos, a p+4 no le queda más remedio que ser divisible por tres. Preguntaba antes por una prueba sencilla. La hay, y es muy fácil, y se basa en el hecho incontrovertible de que uno de cada tres números es divisible por tres.

[Publicado por: quiza]

Bueno, los huevos se cuentan por docenas, pero no solo los huevos, existe la medida "mano" que corresponde a "Conjunto de cinco cuadernillos de papel" y eso es logico, pero tambien tenemos "resma" que corresponde a "Conjunto de 20 manos de papel" que nos da 120 unidades.
¿Armonicos matematicos?

[Publicado por: espejo Lúdico]

Ay, Josef, ojalá fuera tan claro, por ejemplo la (por otro lado muy recomendable) "Pequeña Enciclopedia de Matematicas" de Pagoulatos, dice que el 0 es natural y muchos libros de texto separan claramente el cuadrado del rectángulo...

[Publicado por: quiza]

Bueno, los huevos se cuentan por docenas, pero no solo los huevos, existe la medida "mano" que corresponde a "Conjunto de cinco cuadernillos de papel" y eso es logico, pero tambien tenemos "resma" que corresponde a "Conjunto de 20 manos de papel" que nos da 120 unidades.
¿Armonicos matematicos?

[Publicado por: Surikata]

Josef K dijo:
Por cierto, ¿alguien puede darnos una prueba rápida, tipo Pero Grullo, de por qué, si "p" es primo, "p+4" es múltiplo de 3? Es muy fácil.

Me quedé con esta frase y sólo la relacioné con la serie después de mandar el post. Ya me atizo yo sola, gracias.

[Publicado por: quiza]

Bueno, los huevos se cuentan por docenas, pero no solo los huevos, existe la medida "mano" que corresponde a "Conjunto de cinco cuadernillos de papel" y eso es logico, pero tambien tenemos "resma" que corresponde a "Conjunto de 20 manos de papel" que nos da 120 unidades.
¿Armonicos matematicos?

[Publicado por: Josef K.]

Creo que no, Leafar. Si no me lo contaron mal, la definición de primo, como he dicho, es negativa: se trata de que hay números que NO tienen más divisores que uno y ellos mismos. Es decir, para ser NO-PRIMO hay que presentar en el registro otro divisor. El 1 no puede hacerlo. No hay que pedir que tengan dos divisores y sólo dos para ser primos, hay que pedir que NO TENGAN al menos tres, cosa que el 1 no cumple.

Las definiciones matemáticas pueden ser todo lo generales que quieran porque son puras construcciones del intelecto humano y establecen un espacio cerrado y un lenguaje en el que todo funciona. El requisito básico es la coherencia interna de ese sistema.

El 0 no es natural, desde luego, en la teoría de números. Puede, sí, utilizarse para definir el cardinal del conjunto vacío en la teoría de conjuntos, por lo que, si establecemos una equivalencia entre números naturales y números cardinales, nos veremos obligados a introducirlo.

[Publicado por: Surikata]

p=1 es primo
p+2=3 es primo
p+4=5 todavía no he conseguido dividirlo entre 3.

[Publicado por: Josef K.]

Sí, Surikata, ya hemos dicho que los primeros primos suponen una excepción a la regla de la divisibilidad por 3. Se empieza a cumplir a partir de 5.

[Publicado por: Surikata]

A no ser que demos la razón a los partidarios del 1-no-primo